Gamme de Pythagore : pour aller plus loin...
Rappel :

dans la gamme de Pythagore : la tierce et la quinte du loup sont légèrement fausses.

(la théorie de Pytagore se base sur la longueur des cordes)

dans la gamme de Zarlino : la quinte et la tierce sont justes, la quinte du loup est horriblement fausse.

(la théorie de Zarlino se base sur les harmoniques)

dans la gamme tempérée : il n’y a pas de quinte du loup ; les quintes sont bonnes, et les tierces un peu trop grandes.

(la théorie de Werckmeister se base sur la moyenne géométrique)

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La gamme en musique correspond à la palette en peinture, à la différence près qu'elle ne contient qu'un nombre fini de notes de musique et non une infinité de teintes.

Le compositeur utilisera ces notes pour créer un morceau de musique comme le peintre utilise différentes couleurs pour peindre un tableau.

Notre gamme est très proche de celle qui existait dans l'Antiquité.

Au Vième siècle av. J.-C., Pythagore fut le premier à en construire une en s'appuyant sur les mathématiques.

Il étudia la hauteur des sons produits par des cordes de tailles différentes, ainsi que les accords consonants (groupe de plusieurs notes qui sont agréables à entendre lorsqu'elles sont jouées ensemble).

Il utilisa pour cela un monocorde (instrument à une seule corde) car sur cet instrument on peut modifier facilement la longueur de la corde vibrante grâce à un chevalet mobile.

L'accord le plus consonant était composé des sons produits par une corde de longueurrL et une corde de longueur 1/2 L.

Pythagore ne pouvait pas mesurer les fréquences, mais on sait aujourd'hui que si la longueur d'une corde diminue de moitié, alors la fréquence du son qu'elle produit double. La note obtenue est à l'octave de la note de départ.

L'octave est l'intervalle le plus consonant

les deux notes se ressemblent tant qu'elles reçoivent le même nom

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Un deuxième intervalle remarquable est la quinte (Do-Sol dans l'exemple suivant), obtenue en faisant vibrer la corde sur les 2/3 de sa longueur initiale.

On a vu avec l'octave que la fréquence d'un son variait en sens inverse de la longueur de la corde.

Si la note de départ a une fréquence f, alors la fréquence de sa quinte sera égale à (3/2)f car la longueur de la corde est (2/3) L.

Pythagore utilisa l'octave comme limite de sa gamme

Toutes les notes sélectionnées sont comprises entre deux notes distantes d'une octave.

Il lui fallut ensuite choisir les notes qui composeraient son échelle. Pour cela, il se servit de la quinte et construisit le cycle des quintes.

 

Construction :

  • Prendre une note de départ et l'augmenter d'une quinte

  • Faire de même avec la note obtenue jusqu'à obtenir une note hors de l'octave de base

  • Descendre cette note d'autant d'octaves que nécessaire pour revenir dans l'octave de base. Cela revient à multiplier la longueur de la corde par 2 (ou la fréquence par 1/2)

  • Continuer à monter par quintes et à descendre par octaves jusqu'à revenir à une note identique à celle de départ

On voit sur ce schéma les différentes notes obtenues successivement par le cycle des quintes en partant de Do.

Les flèches bleues indiquent que l'on monte d'une quinte, et les flèches vertes que l'on descend d'une octave pour revenir entre les deux notes désignées comme bornes.

Cette octave de référence est représentée par une bande bleue.

Les deux dernières notes portent deux noms différents car un Mi♯ équivaut à un Fa et un Si♯ à un Do.

On retombe ainsi sur la note de départ à la douzième quinte (ou au septième changement d'octave) et le cycle est complet.

Cependant, nous verrons plus loin que ce n'est pas tout à fait le cas. Les équivalences Mi♯-Fa et Si♯-Do ne sont pas parfaitement exactes, ce qui explique l'existence de noms différents.

Les notes de la gamme s'expriment par un rapport appliqué à la fréquence de la note de base. Ce rapport peut s'écrire sous la forme 2 puissance (x) x 3 puissance (y).

 

Cette notation montre bien que la gamme pythagoricienne est basée sur la quinte (3/2) et l'octave (2)

Les exposants négatifs signifient qu'on est descendu d'une octave :

​2 puissance (-1) = 1/2

 

Pour la quarte (Do-Fa), on est descendu d'une quinte et monté d'une octave :

​(3/2)-1 x (1/2)-1 = 2 puissance (2) x 3 puissance (1) = 4/3

En effet, le rapport obtenu en montant jusqu'au Mi♯ (équivalant au Fa) était composé de nombres trop grands pour être utilisables par Pythagore (il pensait que pour qu'un accord soit consonant, les rapports des notes devaient être les plus simples possibles).

 

Puisqu'un cycle fonctionne dans les deux sens, il est tout à fait possible de descendre d'une quinte à partir du Do pour arriver au Fa et de l'augmenter d'une octave afin d'obtenir la quarte dans l'octave de la gamme.

Pythagore découvrit ainsi :

qu'en montant de 12 quintes,

et en descendant de 7 octaves,

on retombait sur la note de départ...

 

Mais réalité, on n'obtiendra pas tout à fait la note initiale.

Par exemple, prenons un Do de fréquence f0 = 1 comme note de départ :

  • Augmenter ce Do de 12 quintes revient à multiplier 12 fois sa fréquence par 3/2. c On a : f1 = f0 (3/2) puissance (12) ≈ 129,746

  • En augmentant ce même Do de 7 octaves, xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx on trouve : f1 = 2 puissance (7) = 128, qui est inférieur à 129,746

On obtient donc deux notes différentes selon qu'on monte par quintes ou par octaves.

En fait, cette différence est visible lorsqu'on applique la théorie de notre solfège actuel : en montant de 7 octaves on trouve invariablement un Do, mais en montant de 12 quintes on obtient un Si♯, plus haut que le Do.                 

L'intervalle entre ces deux notes (Do-Si♯) est appelé comma pythagoricien (en jaune sur le schéma ci-dessous) et vaut :

(3/2) puissance (12) ÷ 2 puissance (7) ≈ 1,014 

(on monte de 12 quintes et on descend de 7 octaves)

Il correspond à la différence entre la dernière note du cycle des quintes de Pythagore (Si♯) et la première (Do).

Il est impossible d'obtenir la fréquence de départ avec le cycle des quintes.

En effet, il faudrait avoir (3/2) puissance (x) x f = 2 puissance (y) x f,  

 

soit 3 puissance (x) = 2 puissance (y)

Or un nombre impair ne sera jamais égal à un nombre pair. 

Pour fermer le cycle des quintes – qui pour l'instant n'en est pas un – il faut "raccourcir" la dernière quinte (mi♯ - si♯) d'un comma pythagoricien, afin que la dernière note du cycle (Si♯) coïncide avec la première (Do).

 

La quinte ainsi déformée, appelée quinte du loup (en rouge sur le schéma ci-dessous), sonne faux, et était donc évitée par les musiciens.

 

Elle vaut (3/2) x (1/ comma pythagoricien) ≈ 1,47981

(on descend d'un comma pythagoricien)

Un autre défaut de la gamme de Pythagore est que la tierce majeure (Do-Mi) ne sonne pas juste.

 

Ainsi, malgré une méthode de construction astucieuse, la gamme de Pythagore comporte quelques intervalles faux.

En résumé (source Meludia) :

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